Калибровочная теория гравитации
» » Калибровочная теория гравитации

Калибровочная теория гравитации

13.12.2020


Калибровочная теория гравитации — это подход к объединению гравитации с другими фундаментальными взаимодействиями, успешно описываемыми в рамках калибровочной теории.

История

Первая калибровочная модель гравитации была предложена Р. Утиямой в 1956 г., два года спустя после рождения самой калибровочной теории. Однако первоначальные попытки построить калибровочную теорию гравитации по аналогии с калибровочной теорией Янга — Миллса внутренних симметрий столкнулись с проблемой описания общих ковариантных преобразований и псевдоримановой метрики (тетрадного поля) в рамках такой калибровочной модели.

Чтобы решить эту проблему, было предложено представить тетрадное поле как калибровочное поле группы трансляций. При этом генераторы общих ковариантных преобразований рассматривались как генераторы калибровочной группы трансляций и тетрадное поле (поле кореперов) отождествлялось с трансляционной частью аффинной связности на пространственно-временном многообразии X {displaystyle X} . Любая такая связность является суммой K = Γ + Θ {displaystyle K=Gamma +Theta } общей линейной связности Γ {displaystyle Gamma } на X {displaystyle X} и припаивающей формы Θ = Θ μ a d x μ ⊗ ϑ a {displaystyle Theta =Theta _{mu }^{a}dx^{mu }otimes vartheta _{a}} , где ϑ a = ϑ a λ ∂ λ {displaystyle vartheta _{a}=vartheta _{a}^{lambda }partial _{lambda }} — неголономный репер.

Существуют различные физические интерпретации трансляционной части Θ {displaystyle Theta } аффинной связности. В калибровочной теории дислокаций поле Θ {displaystyle Theta } описывает дисторсию. В другой трактовке, если линейный репер ϑ a {displaystyle vartheta _{a}} задан, разложение θ = ϑ a ⊗ ϑ a {displaystyle heta =vartheta ^{a}otimes vartheta _{a}} дает основание ряду авторов рассматривать корепер ϑ a {displaystyle vartheta ^{a}} именно как калибровочное поле трансляций.

Общие ковариантные преобразования

Трудность построения калибровочной теории гравитации по аналогии с теорией Янга — Миллса вызвана тем, что калибровочные преобразования этих двух теорий принадлежат разным классам. В случае внутренних симметрий калибровочными преобразованиями являются вертикальные автоморфизмы главного расслоения P → X {displaystyle P o X} , оставляющие неподвижной его базу X {displaystyle X} . В то же время, теория гравитации строится на главном расслоении F X {displaystyle FX} касательных реперов к X {displaystyle X} . Оно принадлежит категории натуральных расслоений T → X {displaystyle T o X} , для которых диффеоморфизмы базы X {displaystyle X} канонически продолжаются до автоморфизмов T {displaystyle T} . Эти автоморфизмы называются общими ковариантными преобразованиями. Общих ковариантных преобразований достаточно, чтобы сформулировать и общую теорию относительности, и аффинно-метрическую теорию гравитации как калибровочную теорию.

В калибровочной теории на натуральных расслоениях калибровочными полями являются линейные связности на пространственно-временном многообразии X {displaystyle X} , определяемые как связности на главном реперном расслоении F X {displaystyle FX} , а метрическое (тетрадное) поле играет роль хиггсовского поля, отвечающего за спонтанное нарушение общих ковариантных преобразований.

Псевдориманова метрика и хиггсовские поля

Спонтанное нарушение симметрий является квантовым эффектом, когда вакуум не инвариантен относительно некоторой группы преобразований. В классической калибровочной теории спонтанное нарушение симметрий происходит, когда структурная группа G {displaystyle G} главного расслоения P → X {displaystyle P o X} редуцирована к своей замкнутой подгруппе H {displaystyle H} , то есть существует главное подрасслоение расслоения P {displaystyle P} со структурной группой H {displaystyle H} . При этом имеет место взаимно однозначное соответствие между редуцированными подрасслоениями P {displaystyle P} со структурной группой H {displaystyle H} и глобальными сечениями фактор-расслоения P / H → X {displaystyle P/H o X} . Эти сечения описывают классические хиггсовские поля.

Первоначально идея интерпретировать псевдориманову метрику как хиггсовское поле возникла при построении индуцированных представлений общей линейной группы G L ( 4 , R ) {displaystyle GL(4,mathbb {R} )} по подгруппе Лоренца. Геометрический принцип эквивалентности, постулирующий существование системы отсчета, в которой сохраняются лоренцевские инварианты, предполагает редукцию структурной группы G L ( 4 , R ) {displaystyle GL(4,mathbb {R} )} главного реперного расслоения F X {displaystyle FX} к группе Лоренца. Тогда само определение псевдоримановой метрики на многообразии X {displaystyle X} как глобального сечения фактор-расслоения F X / O ( 1 , 3 ) → X {displaystyle FX/O(1,3) o X} ведет к её физической интерпретации как хиггсовского поля.