Некоторые вопросы математического моделирования дробилок

Математический анализ электромеханических переходных процессов даже при упрощенном их рассмотрении достаточно сложен. Возможности для вариации отдельными параметрами в эксплуатационных условиях весьма ограничены. Многие из этих трудностей преодолеваются при использовании методов математического моделирования, основные положения которых изложены в работах. Структура модели подбирается так, чтобы происходящие в ней процессы подчинялись аналогичным математическим уравнениям, описывающим процессы, исследуемые в приводе.

Динамические процессы в электрических и механических системах описываются идентичными дифференциальными уравнениями. Так, например, движение зарядов в цепи с сосредоточенными параметрами L, R и с (рис. 120, б), к которой приложена электродвижущая сила E (t), описывается уравнением

где q — электростатический заряд.
Динамический процесс в механической системе (рис. 120, а) при мгновенном приложении силы F и наличии сил сопротивления, пропорциональных первой степени скорости деформации пружины, описывается дифференциальным уравнением

где m — масса груза;
b — коэффициент пропорциональности;
с — коэффициент жесткости;
х — деформация пружины.
Сравнение двух последних уравнений показывает их идентичность. Это обстоятельство при соответствующем подборе постоянных коэффициентов позволяет изучать нестационарные процессы в механической системе на электрической модели. Такой способ является моделированием на основе прямых аналогий.
Наряду с этим способом применяется моделирование с помощью аналоговых вычислительных машин, выполняющих математические операции сложения, вычитания, умножения, деления, дифференцирования и интегрирования на основе отдельных решающих элементов. Они отличаются от моделей, выполненных на основе прямых аналогий, отсутствием прямой физической аналогии между величинами, характеризующими изучаемое явление, И величинами, получаемыми в результате выполнения отдельных математических операций. Аналоговые вычислительные машины являются математическими моделями, в которых физические величины моделируемой системы оригинала представляются в виде пропорциональных им величин (электрических напряжений), являющихся переменными напряжениями модели. Необходимыми условиями решения задачи моделирования являются: 1) тождественность уравнений, описывающих моделируемую систему (оригинал) и модель; 2) постоянство масштабов, которые связывают между собой переменные величины оригинала и модели.
Эти условия на аналоговых вычислительных машинах непрерывного действия выполняются автоматически, поскольку при помощи выбранных масштабов описывающие оригинал уравнения преобразуются в уравнения, описывающие модель, а по ним осуществляется набор задачи на машине.

Рассмотрим метод решения дифференциального уравнения с помощью установки, состоящей из отдельных решающих элементов. Примем условно их обозначение таким, как это показано на рис. 121. Рассмотрим, например, как набирается с помощью подобных решающих элементов дифференциальное уравнение

здесь M и n — заданные величины;
? — искомая зависимая переменная величина.
Из этого уравнения видно, что для определения ? необходимо дважды проинтегрировать сумму M — n? и помножить результат на (—1). Слагаемое (—n?) может быть образовано путем перемножения величины ?, полученной после двухкратного интегрирования и умножения на (—1), на коэффициент (—n). Слагаемое (—n?) с помощью обратной связи подается на сумматор (рис. 122).
Указанные математические операции могут осуществляться на аналоговой вычислительной машине. Весь процесс решения задачи на ней можно разбить на четыре операции; 1) приведение уравнения, описывающего оригинал, к виду, удобному для моделирования на машине;
2) выбор масштабов и преобразование уравнения, описывающего оригинал, в уравнение, описывающее модель (машинное уравнение);
3) коммутация (включение) вычислительных блоков модели, необходимых для воспроизведения решения машинного уравнения;
4) регистрация решения машинного уравнения, переход при помощи масштабов от моделирующих переменных к моделируемым и анализ решения задачи.

Основным блоком вычислительной машины, осуществляющим операции суммирования, умножения на постоянный множитель, интегрирования и дифференцирования, является решающий (операционный) усилитель постоянного тока. Принципиальная схема решающего усилителя с отрицательной обратной связью приведена на рис. 123.
Выходное напряжение Uвых усилителя определяется решением системы уравнений, описывающих его равновесное состояние:

где Uк — входное напряжение;
zк — сопротивление входной к-й цепи;
Z0 — сопротивление цепи обратной связи;
k — коэффициент усиления без обратной связи;
Uвх — напряжение на входе усилителя;
iк — ток к-й входной цепи;
i0 — ток в цепи обратной связи;
zн — сопротивление нагрузки;
iвx — входной ток усилителя (рис. 123).

Решая эту систему уравнений, получаем соотношение между выходной величиной Vвых и входными величинами Uк:

B этом выражении членом

ввиду большой величины коэффициента k можно пренебречь. Тогда

В том случае, когда в качестве z0 включается активное сопротивление z0 = R0, а zк = Rк, блок осуществляет суммирование и усиление входных величин:

В частном случае, при z0 = R0; zк = zn = 0, блок выполняет масштабное преобразование:

а при R0 = R1 — инвертирование:

В том случае, когда в качестве z0 включается емкость С, a zк — активные сопротивления, операционный усилитель выполняет операцию интегрирования при одновременном суммировании нескольких величин:

соответственно

где E0 — заданное начальное значение.
Для построения схем специальных нелинейных зависимостей в электромоделях предусмотрены диодные элементы и потенциометрические схемы для задания напряжения необходимого знака, а также сопротивления, емкости и усилители постоянного тока. Такие нелинейные характеристики, как зона нечувствительности, люфт, сухое трение и другие воспроизводятся на модели путем различных сочетаний вышеуказанных элементов с усилителями постоянного тока.

Для воспроизведения нелинейности типа зоны нечувствительности (рис. 124, а) в модели используются два диодных элемента, включенные последовательно с входными сопротивлениями суммирующего усилителя. При этом величина напряжения отпирания диодов (х1 и х2) устанавливается с помощью потенциометров. Углы наклона прямой ?1 и ?2 соответственно будут

где ?1 и ?2 — коэффициенты, учитывающие сопротивление последовательно включенного с диодом потенциометра (после отпирания диодного элемента).
Крутизну нарастания напряжения на выходе схемы (рис. 124, б) можно изменять, меняя входные сопротивления R1 и R2.
Кроме этого, в электрических моделирующих установках имеются специальные блоки нелинейности и другие преобразователи, позволяющие моделировать различные функциональные зависимости.
В инженерной практике моделирования, наряду с другими типами машин, используется электронная вычислительная машина MH-7.