title-icon Статьи о ремонте
title-icon
» » Определение параметров эмпирических формул методом наименьших квадратов

Определение параметров эмпирических формул методом наименьших квадратов

В рассмотренном выше графическом анализе результатов опытных данных и определения параметров эмпирических функций аппроксимирующая прямая (в данной системе координат) проводилась на глаз таким образом, чтобы она располагалась возможно ближе к нанесенным на графике точкам. Наилучшего приближения к опытным данным «в среднем» и определения параметров данной эмпирической функции можно добиться при помощи метода наименьших квадратов. Суть этого метода заключается в том, что искомая прямая характеризуется минимальной суммой квадратов отклонений от всех экспериментальных точек, нанесенных на график.
Если в качестве искомой функции принять выражение (6.4), то мера ее отклонения S от всех экспериментальных данных определяется из условия:
где Yi — определяемые из эксперимента опытные данные при данном Xi. Здесь предполагается, что отклонения, сумма квадратов которых должна быть минимальна, имеют место только по направлению оси у, т. е. измерения по оси х являются точными, а по оси у могут иметь различные значения.
Значения а и b искомой функции определяются из условия минимума S, для чего приравнивают к нулю частные производные (6.37) по а и b:

где Yi — определяемые из эксперимента опытные данные при данном Xi. Здесь предполагается, что отклонения, сумма квадратов которых должна быть минимальна, имеют место только по направлению оси у, т. е. измерения по оси х являются точными, а по оси у могут иметь различные значения.
Значения а и b искомой функции определяются из условия минимума S, для чего приравнивают к нулю частные производные (6.37) по а и b:


Входящие в выражение (6.4) параметры определяют из решения уравнений (6.40) и (6.41) по следующим выражениям

Линейное уравнение вида (6.4) с коэффициентами, определенными по методу наименьших квадратов и выражающее в среднем зависимость между X и Y (в предположении возникновения ошибок только для У), называется уравнением регрессии, а его графическое изображение — теоретической линией регрессии. Мерой степени линейной зависимости между X и Y служит коэффициент корреляции r.

где oy — стандартное отклонение значений переменного Y; Sy — стандартное отклонение оценки, т. е. квадратный корень из среднего арифметического квадратов отклонений наблюдаемых точек от прямой, полученной по методу наименьших квадратов:

Наиболее удобным для практического вычисления r является формула:

Коэффициент корреляции изменяется в пределах от 0 до ±1. Отрицательный коэффициент r является положительным коэффициентом для обратной корреляции. Значение r=0 соответствует полному отсутствию корреляции, а r=1 — линейной функциональной зависимости между X и Y, когда каждому значению X соответствует только одно значение Y, При r > 0,8 корреляция является сильной, а при r < 0,8 — слабой.
В силу того что, как правило, каждому фиксированному значению (в рассматриваемом случае продолжительности действия нагрузки) соответствуют несколько значений Y, полученных при многократном повторении опыта, следует установить доверительные пределы изменяемости коэффициентов уравнения регрессии вида (6.4) при заданной двусторонней доверительной вероятности a.

Истинные значения коэффициентов а и b регрессионного уравнения, расположенные в пределах двустороннего доверительного интервала, вычисляют по формулам:

где ta/2;n-2 — коэффициент (табл. 24), определяемый в зависимости двусторонней доверительной вероятности a для числа степени свободы (n—2).

где Yi — вычисленные по регрессионному уравнению вида (6.4) «истинные» значения Y; оа, оb, оу — средние квадратичные отклонения a, b и y

В заключение отметим, что аналогичным образом можно определить коэффициенты регрессионного уравнения для других эмпирических функций как меры ползучести, так и зависимости напряжение — компрессионная деформация и функции напряжения.

title-icon Подобные новости