Теория упруго-ползучего тела

Теория упруго-ползучего тела (наследственной ползучести стареющего материала—бетона) является результатом применения линейной теории Больцмана—Вольтерра к стареющему материалу и ее дальнейшим развитием на случай нелинейной ползучести.
В основу линейного варианта теории Г.Н. Масловым (1940 г.) положены следующие предпосылки: 1) изотропность материала; 2) линейная зависимость между напряжениями, мгновенными и ползучими деформациями; 3) возможность наложения деформаций ползучести; 4) независимость деформаций от знака напряжений; 5) наличие одинаковой зависимости от времени всех видов единичной деформации; 6) возможность пренебрежения восстанавливающим эффектом ползучести при разгрузке элемента; 7) зависимость ползучести и мгновенных деформаций от возраста бетона v.
В соответствии с изложенным выше полная относительная деформация сжатия элемента при постоянном единичном напряжении o=1 (рис. 18) определяется из следующего соотношения:

где e0(v) — упруго-мгновенная деформация; E0(v) — модуль мгновенной деформации; et(t, v) = с(t, v) — деформация (мера) ползучести к моменту времени t от единичного напряжения, приложенного в момент времени Q.
Производные функций I/E0(Q) и C(t, v) по времени имеют отрицательный знак, поскольку по мере увеличения возраста бетона эти функции уменьшаются.

Выражение полной относительной деформации от действия постоянного напряжения o(v0) записывается в виде

В случае нарастания напряжения ступенями Aio(vi) при t > v0 будем иметь

где vi — моменты приложения ступеней нагрузки (напряжения).
При непрерывном нарастании напряжения o уравнение (2.115) записывается в следующей интегральной форме:

а после интегрирования по частям, учитывая, что b(t, t) = 1 /E(t),

Выражение (2.117) представляет собой интегральное уравнение В. Вольтерра второго рода с верхним переменным пределом относительно o(t) с ядром K(t,v)=db(t,v)/dv < 0, которое для нестареющего материала совпадает с уравнением Л. Болцмана (2.48).
Для выражения b(t,v) Г.Н. Масловым рассмотрены случаи деформации бетона: 1) при учете гипотезы Гленвиля (1930 г.) о взаимной параллельности кривых ползучести, определенных в различных возрастах бетона, т. е. независимости db(t,v)/dv от координаты v; 2) при постоянном модуле мгновенной деформации E0 и ползучести старого (нестареющего) бетона. В первом случае (2.113) записано в виде

а во втором случае:

где C0 и А — параметры, определяемые из опыта.
Из выражения (2.118) — основного уравнения теории старения бетона, развитой в работах И.И. Улицкого, следует, что, если известна мера ползучести бетона C(t,v0), загруженного в возрасте v0, то для получения меры ползучести для любого другого возраста vi следует из кривой C(t,v0) вычесть величину C(viv0), т. е. C(t, 4) =C(t, vo) — С(vi, v0) = C(t)-C(vi). Здесь время отсчитывается с момента загружения v0 = 0, поэтому t1,t2 означают продолжительность действия нагрузки.
Для случая стареющего во времени бетона, когда мгновенные и ползучие деформации зависят от его возраста, соотношение (2.119) Н.X. Арутюняном представлено в следующем виде:

где E0(v) — модуль мгновенной деформации, зависящий от возраста бетона (см. рис. 18); 1/E0(v) — мгновенная деформация в момент v от приложения единичного напряжения o=1; C'(t,v) — мера ползучести; ф(v) — некоторая убывающая функция, характеризующая старение материала во времени (функция старения); А, b0, a0 и Ef — параметры, определяемые из опыта.
Функцию старения ф(v) Н.X. Арутюнян представил в виде

а в частном случае

Эту функцию К.С. Карапетян, С.Р. Месчян и И.Е. Прокопович записали в виде

Предложено много других вариантов для функций старения и меры ползучести.
Из (2.121) следует, что при t —> 00 мера ползучести получает свое предельное значение ф(v), которое принято называть предельной мерой ползучести.
Решение интегрального уравнения (2.117) относительно o(t) записывается в виде

где R(t, v) — резольвента ядра K(t, v)E0(i), представляющая меру релаксации данного материала. Первый член правой части выражения (2.126) характеризует упруго-мгновенное напряжение при мгновенном изменении деформации, а второй член — изменение напряжения во времени при непрерывном изменении деформаций.
Выражение нелинейной ползучести e(t) нестареющего бетона при постоянном напряжении П.И. Васильев в 1951 г. представил в виде соотношения теории старения (2.73)

при ступенчатом возрастании напряжения

а в случае монотонного возрастания напряжений

При переходе к переменной v вместо (2.129) будем иметь

или, выполняя интегрирование по частям,

где F(o) — функция напряжения, определяемая из (2.72).
Из (2.131) следует, что в отличие от (2.107) (см. рис. 17) мгновенные деформации подчиняются линейному закону, т. е. изохронные кривые для всего интервала времени не являются подобными.
Одновременно с П.И. Васильевым, но независимо от него, аналогичное уравнение теории нелинейной наследственной ползучести нестареющего материала получено М.И. Розовским.
Н.X. Арутюнян выражения (2.127) и (2.131) обобщил на случай стареющего бетона и соответственно представил в виде

где F[o(v)] — определяемая из опыта функция напряжения, зависящая от возраста материала v и удовлетворяющая условию F[o(v) = 1] = 1.
Соотношение (2.133) является основным уравнением нелинейной теории упруго-ползучего тела.
Для выражения деформаций чистого сдвига во времени у(t) при линейной и нелинейной ползучести применяют соотношения, аналогичные (2.113), (2.117), (2.132) и (2.133). При чистом сдвиге мера ползучести обозначается w(t,v), модуль мгновенных деформаций — G0(v), функция касательного напряжения — f(т). При этом следует иметь в виду, что между мгновенными модулями чистого сжатия и сдвига существует следующее соотношение:

где u1 — коэффициент поперечной упруго-мгновенной деформации.
Для определения релаксации касательных напряжений используется выражение, аналогичное (2.126).
Н.X. Арутюняном показано, что, когда мера ползучести при одноосном сжатии C(t,v) элемента пропорциональна мере ползучести при чистом сдвиге w(t, v) с постоянным коэффициентом К0

а коэффициенты поперечного расширения элемента для мгновенной u1 и ползучей u2 деформаций одинаковы:

то напряженное состояние данного тела будет соответствовать упруго-мгновенной задаче. Это значит, что в указанных условиях влияние ползучести сказывается только на величине деформации.
Совпадение решений теорий ползучести и упругости было отмечено Г.Н. Масловым в 1940 г. Единственным для этого условием, как писал Г.Н. Маслов, является пропорциональность напряжений в упругой задаче и модуля упругости E0.
Применимость теории деформаций ползучести при ступенчато-возрастающем напряжении стареющего материала определяют соответственно на основании (2.115) и (2.128) следующими соотношениями линейной и нелинейной теорий:

Выражения (2.137) и (2.138) показывают, что в пределах первой ступени напряжения o1 (см. рис. 16) деформации ползучести протекают по отрезку OA1 экспериментальной кривой, определенной при этом напряжении.
Для построения кривой от действия второй ступени напряжения (о2—о1) следует с момента ее приложения v1 = v1 на кривой o1 отложить вверх разность ординат кривых для о2 и o1, т. е. следует заштрихованную между указанными кривыми восходящими линиями фигуру наложить на кривую о1, совмещая начало с точкой A1, соответствующей моменту v1 = t1 приложения приращения напряжения o2—o1 (см. рис. 16). Аналогичным образом строится кривая ползучести для следующей — третьей ступени напряжения (o3—o2).
Из кривой, построенной для ступенчато-возрастающего напряжения, видно, что деформация ползучести материала зависит от всей предыстории его загружения — от действия всех ранее приложенных ступеней напряжения и наследственности деформаций ползучести.